"수학, 돈이 되나요?" 경영/경제 교수가 탐낼 공통수학1 세특 보고서 주제 모음

공통수학1, 세특 보고서 주제

이걸로 그냥 끝내. (상경 계열 ver.)

"수학은 대체 왜 배워?"
"경영학과 갈 건데 수학이 왜 필요해?"
이런 생각해 본 사람, 솔직히 손 들어봐.

안녕. 이치쌤이야.
맨날 똑같은 문제집 풀고, 점수 하나에 울고 웃는 거 지겹지?
나도 다 겪어봐서 알아.
근데 말이야, 네가 지금 풀고 있는 그 지겨운 수학 문제들이 사실은 세상을 움직이는 열쇠라면 어떨 것 같아?
특히 돈의 흐름을 읽어야 하는 상경 계열에선 수학이 그냥 '언어' 그 자체야.
오늘은 네 학생부를 그냥 '채우는' 수준이 아니라, 아예 '찢어버릴' 수 있는 탐구 보고서 주제들을 가져왔어.
뜬구름 잡는 소리 말고, 진짜 현실에 발 딛고 있는 주제들이니까 정신 똑바로 차리고 따라와.

오늘 우리가 파헤쳐 볼 주제들

1. 다항식: 세상의 모든 비용과 수익을 식으로 표현한다면?

2. 방정식과 부등식: 이익과 손실을 가르는 그 경계선

3. 경우의 수: 수만 가지 선택지, 최적의 전략은?

4. 행렬: 복잡한 데이터를 한 장의 표로 정리하는 마법

5. 선배들의 현실적인 질문 TOP 6 (FAQ)

6. 마무리: 그래서 진짜 중요한 건 뭔데?

1. 다항식: 경제/경영의 언어

주제 1: 기업 비용 구조를 다항식으로 모델링하기

#경제학과 #경영학과 #회계학과

아이스크림 가게를 차린다고 생각해봐.
가게 월세, 직원 월급처럼 아이스크림을 몇 개 팔든 똑같이 나가는 돈(고정비용)이 있고,
우유, 설탕처럼 하나 더 팔 때마다 추가로 드는 돈(변동비용)이 있겠지?
이 총비용을 생산량($Q$)에 대한 함수 $TC(Q)$로 표현하는 거야.
가장 간단하게는 $TC(Q) = bQ + c$ (1차 함수)로 볼 수 있지만, 현실에선 생산량이 너무 많아지면 효율이 떨어져(야근 수당, 기계 고장 등).
이런 비효율성까지 반영하면 $TC(Q) = aQ^2 + bQ + c$ (2차 함수) 모델이 더 정확해.
보고서에서는 이 모델의 평균비용($AC(Q) = TC(Q)/Q$) 곡선이 왜 U자 형태를 그리는지 분석하고,

곡선의 최저점이 기업의 '최적 생산량'과 어떤 관계가 있는지 탐구해봐.

이게 바로 '규모의 경제'와 '규모의 비경제'를 수학적으로 증명하는 과정이야.

주제 2: 인수분해로 손익분기점(BEP) 찾아내기

#회계학과 #경영학과(재무/창업)

장사하는 사람한테 제일 중요한 게 뭘까? 바로 '최소한 몇 개를 팔아야 본전은 할까?'겠지.
이게 바로 손익분기점(Break-Even Point)이야.
총수익 함수 $TR(Q)$와 위에서 만든 총비용 함수 $TC(Q)$를 설정해.
이익($\pi$)은 수익에서 비용을 뺀 것이므로, $\pi(Q) = TR(Q) - TC(Q)$가 돼.
손익분기점은 이익이 0이 되는 지점이니, $\pi(Q) = 0$ 이라는 방정식을 세우는 거야.
이 방정식을 인수분해나 근의 공식으로 풀면, 본전이 되는 생산량 $Q$값을 찾을 수 있어.
만약 해가 두 개 나온다면, 그 두 값 사이의 생산량에서 이익이 발생한다는 의미겠지? 그래프를 그려서 이익 발생 구간을 시각적으로 보여주면 보고서 퀄리티가 확 올라가.

주제 3: 다항식 추세선으로 미래 판매량 예측하기

#경영학과(마케팅) #통계학과 #산업공학과

점쟁이가 아니어도 미래를 예측할 수 있어. 바로 데이터와 다항식만 있다면.
통계청(KOSIS) 같은 곳에서 관심 있는 상품(예: 스마트폰, 배달음식)의 과거 분기별 판매량 데이터를 찾아봐.
이 데이터를 좌표평면에 점으로 찍고, 엑셀이나 구글 시트의 '추세선 추가' 기능을 이용해 이 점들을 가장 잘 나타내는 1차 또는 2차 다항식을 구해봐. 이걸 회귀분석이라고 해.
보고서에서는 이 추세선(다항함수)의 식이 왜 그렇게 도출되었는지 설명하고,

함수에 미래 시점(예: 다음 분기)을 대입하여 판매량을 예측하는 과정을 보여주는 거야.
더 나아가, 이 예측이 빗나갈 수 있는 요인(계절성, 경쟁사 출시 등)까지 함께 제시하면 훨씬 현실적인 분석이 돼.

주제 4: 연립방정식으로 시장 균형점 찾기

#경제학과

경제학원론의 심장, 수요와 공급 곡선이야.
'가격($P$)이 오르면 덜 산다'는 수요곡선 $Q_d = -aP + b$ 와 '가격이 오르면 더 판다'는

공급곡선 $Q_s = cP + d$ 를 가정해봐.
시장은 수요량과 공급량이 일치할 때($Q_d = Q_s$) 균형을 이루므로,

두 식을 연립방정식으로 풀면 균형 가격($P^*$)과 균형 거래량($Q^*$)을 구할 수 있어.
여기서 심화 탐구! 정부가 물건 하나당 T만큼의 세금을 부과하면 공급자 입장에선 비용이 늘어난 셈이니 공급곡선이 위로 이동( $Q_s = c(P-T) + d$ )하게 돼.
이 변화된 공급곡선과 원래 수요곡선을 다시 연립해서 새로운 균형점을 찾아봐.

세금 부과 후 소비자 가격은 얼마나 오르고, 거래량은 얼마나 줄어드는지 분석하면 완벽한 보고서가 될 거야.

2. 방정식과 부등식: 이익과 손실의 경계선

주제 5: 이차함수 꼭짓점으로 최대 이윤 가격 찾기

#경제학과 #경영학과(마케팅)

가격을 무작정 높인다고 돈을 많이 버는 게 아니야. 너무 비싸면 아무도 안 사니까.
가격($P$)과 판매량($Q$) 사이의 관계,

즉 수요곡선을 $Q = -mP + c$ 라고 가정하자. (m, c는 양수)
총수익($TR$)은 가격과 판매량의 곱이므로 $TR = P \times Q = P(-mP + c) = -mP^2 + cP$ 가 돼.
이 식은 $P$에 대한 위로 볼록한 이차함수지?

바로 이 함수의 꼭짓점에서 총수익이 최대가 되는 거야.
꼭짓점의 x좌표 구하는 공식($-b/2a$)을 쓰면,

수익을 최대로 만드는 최적 가격 $P^* = -c / (2 \times -m) = c/2m$ 를 구할 수 있어.
보고서에서는 이 과정을 단계별로 보여주고,

왜 기업들이 함부로 가격을 올리거나 내리지 않고 '최적 가격'을 찾으려 노력하는지 경제학적 의미를 설명해봐.

주제 6: 부등식으로 신규 사업 수익성 판단하기

#경영학과(창업/전략) #경제학과

유튜브 채널을 새로 만든다고 상상해봐. 이게 돈이 될까?
예상 수익 함수(예: 조회수당 수익)와

비용 함수(예: 장비 구매비, 편집 프로그램 구독료)를 설정해.
그리고 '수익 > 비용' 이라는 부등식을 세우는 거야.

이 부등식의 해가 바로 사업이 이익을 내기 위한 조건이 돼.
예를 들어, '총 조회수가 10만 회를 넘어야 한다' 또는 '월간 구독자 수가 5천 명 이상이어야 한다' 같은 구체적인 목표치가 도출될 거야.
이 과정을 통해 막연한 창업 아이디어를 구체적인 숫자로 검증하는 '사업 타당성 분석'의 기초를 탐구하고, 스타트업이 투자자에게 어떻게 자신의 사업성을 어필하는지 그 논리를 설명할 수 있어.

주제 7: 연립부등식으로 최적 생산 계획 세우기

#산업공학과 #경영학과(생산관리)

공장을 돌리는데 자원은 한정되어 있어. 예산, 시간, 원자재 전부.
예를 들어, 스마트폰($x$)과 태블릿($y$)을 만드는데,

하루에 조립 시간은 12시간, 부품(AP칩)은 10개로 제한되어 있다고 하자.
스마트폰 하나에 조립 1시간, 칩 1개 / 태블릿 하나에 조립 2시간, 칩 1개가 필요하다면

제약조건은 $x + 2y \le 12$ 와 $x + y \le 10$ 이라는 연립부등식이 돼.
이 부등식 영역을 좌표평면에 그리고,

이익 함수(예: $Profit = 20x + 30y$)를 최대로 만드는 $(x, y)$ 조합을 찾는 거야.

(보통 꼭짓점에서 최댓값이 나와)
이게 바로 경영과학의 핵심인 '선형계획법'이야.

제한된 자원으로 최대의 효율을 뽑아내는 의사결정 과정을 수학적으로 보여주는 거지.

주제 8: 절대값 부등식으로 생산 공정 오차 범위 설정하기

#산업공학과 #경영학과(품질경영)

반도체 회사가 만드는 웨이퍼의 두께는 정확히 760 마이크로미터여야 한다고 해보자.
하지만 현실적으로 완벽은 불가능하지.

그래서 ±5 마이크로미터 정도의 오차는 허용하기로 했어.
이걸 수학적으로 표현하면?

제품 두께를 $x$라 할 때, $|x - 760| \le 5$ 가 돼.
이 간단한 절대값 부등식이 실제 공장에선 제품의 합격/불량을 가르는 중요한 기준이 돼.

이걸 '공차 관리'라고 해.
보고서에서는 이 오차 범위를 벗어났을 때 어떤 문제가 생기는지(예: 반도체 불량률 증가, 자동차 엔진 결함) 구체적인 사례를 들어 설명하고,

품질 관리가 기업의 신뢰도와 비용에 어떤 영향을 미치는지 분석해봐.

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3. 경우의 수: 선택의 모든 가능성

주제 9: 곱의 법칙으로 상품 옵션 조합 분석하기

#경영학과(마케팅) #산업공학과

자동차 한 대를 사더라도 엔진 종류, 색상, 휠 디자인, 내장재... 선택할 게 너무 많지?
엔진 3종, 색상 10종, 휠 4종, 내장재 3종이 있다면 총 경우의 수는 $3 \times 10 \times 4 \times 3 = 360$가지야.
마케팅 측면에선 '개인화'와 '선택의 즐거움'이라는 장점이 있지만,

생산관리 측면에선 360가지에 맞는 부품을 모두 관리해야 하는 '재고 부담'과 '공정의 복잡성'이라는 단점이 생겨.
보고서에서는 이처럼 경우의 수가 기업의 마케팅 전략과 생산 전략 사이에서 어떻게 상충(trade-off) 관계를 만드는지 분석하고, 기업이 '최적의 옵션 가짓수'를 어떻게 결정할지 탐구해봐.

주제 10: 조합(Combination)으로 금융 포트폴리오 짜보기

#경제학과(금융) #경영학과(재무)

'계란을 한 바구니에 담지 말라'는 말은 분산 투자의 중요성을 의미해.
우리나라 대표 주식 200개(KOSPI 200) 중에서 10개 종목을 골라 투자 포트폴리오를 만든다고 해보자.
이때 만들 수 있는 포트폴리오의 가짓수는?

바로 $_{200}C_{10}$ 이야. 계산하면 조 단위를 훌쩍 넘는 천문학적인 숫자가 나와.
보고서에서는 이 방대한 경우의 수를 계산해 보여주면서,

왜 개인 투자자가 '감'에 의존한 투자를 하면 안 되는지를 역설해봐.
그리고 이런 무한에 가까운 선택지 속에서 금융 전문가들이 '현대 포트폴리오 이론' 같은 수학적 모델을 이용해 최적의 조합을 찾아내는 과정에 대해 탐구하면, 금융 분야에 대한 깊은 이해를 보여줄 수 있어.

주제 11: 순열(Permutation)로 공급망 최단 경로 문제 탐구

#경영학과(SCM/물류) #산업공학과

쿠팡 배송기사님이 물류센터에서 출발해 n개의 다른 집을 모두 방문하고 돌아와야 해.
어떤 순서로 돌아야 가장 거리가 짧을까?

이걸 '외판원 문제(Traveling Salesman Problem, TSP)'라고 해.
방문할 경로의 총 가짓수는 순열과 관련이 있는데,

도시가 10개만 돼도 경우의 수는 18만 가지가 넘어.

20개가 되면 100경 가지가 넘어가지.
보고서에서는 순열을 통해 경우의 수가 얼마나 폭발적으로 증가하는지('조합적 폭발') 보여주고,

이 때문에 왜 모든 경로를 다 계산해서 최적 경로를 찾는 게 불가능한지 설명해봐.
그리고 쿠팡이나 CJ대한통운 같은 물류 기업들이 AI와 최적화 알고리즘을 이용해 이 문제를 '근사적으로' 해결하고 있는지, 이것이 물류 비용 절감에 얼마나 중요한지 탐구해봐.

주제 12: 순열과 조합으로 조직 내 위원회 구성하기

#경영학과(인사관리)

인사관리는 결국 '사람을 뽑고 배치하는' 일이야.
부서원 10명 중 프로젝트 팀원 3명을 뽑는 건 순서가 상관없으니 조합($_{10}C_3 = 120$)가지.
하지만 팀장, 서기, 발표자 3명을 뽑는 건 역할이 다르니 순서가 중요해.

이건 순열($_{10}P_3 = 720$)가지.
보고서에서는 이 두 경우의 수 차이를 비교 분석하면서,

'직책 부여'라는 조건이 선택의 복잡성을 어떻게 증가시키는지 설명해봐.
더 나아가, 프로젝트 성격에 따라 역할 구분이 명확한 '순열적 팀 구성'이 좋을지,

역할 구분 없이 자유로운 '조합적 팀 구성'이 좋을지 탐구하고,

각각의 장단점을 제시하면 인사관리에 대한 깊이 있는 통찰을 보여줄 수 있어.

4. 행렬: 거대한 데이터를 한눈에

주제 13: 마르코프 연쇄와 행렬로 시장 점유율 예측하기

#경영학과(마케팅) #경제학과 #통계학과

통신사 KT 유저가 다음에도 KT를 쓸 확률 80%, SKT로 넘어갈 확률 20% / SKT 유저가 KT로 넘어갈 확률 30%, SKT를 유지할 확률 70% 라고 가정하자.
이 확률을 [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]] 이라는 '전이 행렬'로 나타낼 수 있어.
현재 시장 점유율이 [KT 50%, SKT 50%] 즉 [0.5, 0.5] 행렬이라면, 다음 달 점유율은 [0.5, 0.5] $\times$ [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]] 계산으로 예측할 수 있어.
보고서에서는 이 행렬 곱셈을 반복해서 시장 점유율이 결국 어떤 값으로 수렴하는지('안정 상태')를 찾아봐.

이 예측을 통해 기업이 시장 점유율을 높이기 위해 어떤 고객 그룹을 공략해야 하는지(예: 상대방 고객의 전환율 높이기 vs 우리 고객의 유지율 높이기) 전략적 시사점을 도출할 수 있어.

주제 14: 산업연관분석과 역행렬의 활용

#경제학과

"정부가 반도체 산업에 1조를 투자하면, 나라 전체의 생산량은 얼마나 늘어날까?"
이런 질문에 답하는 게 '산업연관분석'이야.

자동차 산업이 1만큼 생산하려면, 철강 0.3, 반도체 0.2가 필요하다는 식의 관계를 행렬 A로 나타내.

이걸 '투입계수행렬'이라고 해.
경제 전체의 생산 유발 효과는 $(I-A)^{-1}$ 라는 역행렬을 계산해서 알 수 있어. (I는 단위행렬)
보고서에서는 2~3개 산업으로 구성된 간단한 가상 경제를 설정하고,

직접 투입계수행렬을 만든 뒤 역행렬을 계산해봐.

이를 통해 특정 산업에 대한 투자가 다른 산업에 어떤 파급효과(ripple effect)를 미치는지 분석하고, 정부의 산업 정책이 왜 중요한지 수학적으로 설명할 수 있어.

주제 15: 행렬 곱셈으로 다중 제품 매출/원가 계산하기

#회계학과 #경영학과

편의점이 하루 동안 콜라 10개, 과자 20개, 라면 15개를 팔았다고 해보자.
판매량을 행벡터 Q = [10, 20, 15] 로, 각 제품의 단가를 열벡터 P = [1500; 800; 1200] 으로 나타내면, 총매출액은 행렬 곱셈 Q $\times$ P 한 번으로 바로 계산돼.
엑셀의 SUMPRODUCT 함수가 바로 이 원리야.
보고서에서는 이 방식을 이용해 여러 지점을 가진 프랜차이즈의 총 매출을 계산하는 모델을 만들어봐. (지점-제품 판매량 행렬 $\times$ 제품-단가 행렬)
수십, 수백 가지 제품 정보를 일일이 계산하는 대신 행렬 연산으로 한 번에 처리하는 것이 회계 시스템의 효율성을 어떻게 극대화하는지 보여줄 수 있어.

주제 16: 행렬로 고객-상품 데이터 분석 기초 탐구

#경영학과(마케팅/MIS) #통계학과 #산업공학과

유튜브나 넷플릭스가 어떻게 내 취향을 귀신같이 알고 추천해 줄까?
수많은 고객(행)과 상품(열)의 구매/시청 이력을 0과 1로 표현한 거대한 행렬을 만들어.

이걸 '사용자-아이템 행렬'이라고 해.
이 행렬에서 나와 비슷한 행(비슷한 취향의 다른 사용자)을 찾거나,

내가 좋아한 열과 패턴이 비슷한 다른 열(연관 상품)을 찾아 추천해주는 거야.

이걸 '협업 필터링'이라고 불러.
보고서에서는 5명의 학생과 5권의 책으로 작은 행렬을 만들고,

'A학생과 가장 취향이 비슷한 학생은 누구인지',

'B책을 읽은 학생에게 어떤 책을 추천해야 할지'를 행렬의 유사도를 통해 분석하는 과정을 보여줘.

빅데이터 시대의 핵심인 추천 알고리즘의 원리를 행렬로 설명하는 거지.

5. 선배들의 현실적인 질문 TOP 6

이런 주제로 보고서 쓰려면 실제 기업 데이터가 꼭 필요한가요?

아니, 절대 아니야. 핵심은 네가 수학적 개념을 현실 문제에 '적용하는 과정'을 보여주는 거야.
데이터는 "A 기업의 비용 구조가 다음과 같다고 가정하자"라고 너만의 모델을 만들면 충분해. 중요한 건 논리적 전개 과정이야.

수학을 잘 못하는데, 너무 어려운 주제 아닐까요?

여기 있는 주제들은 전부 공통수학1 지식을 기반으로 해. 어려운 수학 스킬보다 '왜 이 수학 개념이 여기서 쓰이지?'를 이해하는 통찰력이 더 중요해.
완벽한 계산보다, 개념을 연결하려는 시도 자체가 좋은 평가를 받아.

보고서 분량은 어느 정도가 적당한가요?

A4 용지 5~10장 내외가 가장 일반적이야. 중요한 건 양이 아니라 질.
서론(탐구 동기), 본론(개념 적용, 분석 과정), 결론(느낀 점, 심화 탐구 제안)의 구조를 명확하게 갖추는 게 핵심이야.

참고 자료는 어디서 찾는 게 좋을까요?

RISS나 KCI 같은 논문 사이트에서 네 주제와 관련된 키워드를 검색해봐. 고등학생 수준에선 대학교 교양 경제/경영학 교재나 K-MOOC 강의도 큰 도움이 될 거야.

여러 주제를 섞어서 하나로 만들어도 되나요?

물론! 예를 들어, '다항식으로 비용/수익 함수를 모델링하고(주제1), 이차함수의 최댓값 원리를 이용해 이윤 극대화 가격을 찾은 뒤(주제5), 부등식으로 손익분기점을 분석(주제6)'하는 식으로 융합하면 더 깊이 있는 탐구가 될 수 있어.

이런 보고서가 생기부에 어떻게 기록되나요?

과목별 세특(세부능력 및 특기사항)에 '수학 개념을 활용하여 ~한 경제 현상을 분석하고 모델링하는 등 지적 호기심과 융합적 사고력이 돋보임' 같은 형태로 기록될 수 있어. 너의 전공적합성과 학업역량을 동시에 보여주는 최고의 무기지.

6. 마무리: 이치쌤의 현실 조언

자, 여기까지 따라오느라 고생 많았어.
어때? 네가 그냥 숫자놀음이라고 생각했던 수학이 조금은 다르게 보이나?
오늘 내가 던져준 주제들은 그냥 '정답'이 아니야. 네 생각을 펼쳐나갈 '지도' 같은 거야.
이 중에서 딱 하나만 골라서 제대로 파고들어 봐.
어설프게 3~4개 하는 것보다, 하나를 깊게 파는 게 입학사정관들 눈에 훨씬 잘 띄어.
결과물이 좀 부족해도 괜찮아. 중요한 건 '왜 이걸 탐구했는가'에 대한 너의 진솔한 고민과 '어떻게든 해결해보려고 애쓴 과정' 그 자체니까.
성적만이 전부가 아니라는 걸, 이런 활동으로 증명해내는 거야.

이 중에서 가장 마음에 드는 주제는 뭐야?
어떤 주제를 선택했고, 왜 그게 흥미롭게 느껴졌는지 댓글로 자유롭게 공유해 줘!
서로 아이디어를 나누다 보면 더 좋은 생각이 떠오를 거야.