수열의 합이 2차식일 때, 일반항 3초 만에 구하는 비법 공개

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수열의 합($S_n$)이 2차식일 때
3초만에 일반항 구하는 법

더 이상 $S_n - S_{n-1}$ 계산에 시간을 낭비하지 마세요.

안녕하세요, 이치쌤입니다.

시험지만 받으면 심장이 뛰고, 손에 땀부터 나는 친구들. 시간 부족은 실력의 문제가 아니라, 전략의 부재일 때가 많습니다. 특히 수열 파트에서 $S_n - S_{n-1}$을 붙잡고 있다가 시험 종료종을 듣는 경험, 이제는 끝내야 합니다.

'조금 더 빨리 푸는 법 없나?' 와 같은 생각은 누구나 합니다. 하지만 진짜 행동으로 옮기는 사람은 소수입니다. 이 글은 그 소수가 되려는 분들을 위한 가장 현실적인 해결책입니다. 감성적인 위로가 아닌, 당장 써먹을 수 있는 강력한 기술을 알려드립니다.

지금부터 집중하세요. 이 글을 완벽히 이해했다면, 여러분의 문제 풀이 속도는 완전히 다른 차원으로 진입할 겁니다.

STEP 1: 원리 이해 $S_n$이 2차식이면, 왜 $a_n$은 등차수열인가?

결론부터 말씀드리겠습니다. 수열의 합 $S_n$이 $n$에 대한 2차식($S_n = An^2 + Bn + C$)이면, 그 수열 $a_n$은 반드시 등차수열입니다. 왜 그런지 증명 과정은 딱 한 번만 보고 머리에 각인시켜 두세요. 원리를 알아야 응용 문제에서 흔들리지 않습니다.

$a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \ge 2$) 라는 것은 모두가 아는 기본 원칙이죠? $S_n = An^2 + Bn + C$ 를 이 식에 대입하여 전개해 보겠습니다.

$a_n = S_n - S_{n-1}$
$a_n = (An^2 + Bn + C) - \{A(n-1)^2 + B(n-1) + C\}$
$a_n = (An^2 + Bn + C) - (An^2 - 2An + A + Bn - B + C)$
$a_n = 2An - A + B$

결과를 보세요. $a_n$이 $n$에 대한 '1차식'이 되었습니다. 이것은 곧 공차가 $2A$인 등차수열이라는 명백한 증거입니다. 이제부터 의심 없이 받아들이셔도 좋습니다.

STEP 2: 핵심 공식 3초컷 공식: 반드시 기억하세요

바로 이것이 여러분의 시간을 벌어줄 핵심 무기입니다. $S_n = An^2 + Bn + C$ 형태를 보자마자 반사적으로 떠올려야 합니다.

항목	값
공차 ($d$)	$n^2$의 계수 $A$의 2배   $\rightarrow$   $d = 2A$
첫째항 ($a_1$)	무조건 $S_1$   $\rightarrow$   $a_1 = S_1$
상수항 ($C$)의 역할	$C=0$ : 첫째항부터 완벽한 등차수열 $C\neq0$ : 둘째항부터 등차수열 (첫째항은 예외)

STEP 3: 연습 문제 기본 예제: 정석 풀이 vs 3초컷 풀이

Q: 수열 $\{a_n\}$의 합 $S_n = n^2 - 2n$ 일 때, 일반항 $a_n$을 구하시오.

😩 정석 풀이

$a_n = S_n - S_{n-1}$
$= (n^2-2n) - \{(n-1)^2 - 2(n-1)\}$
$= (n^2-2n) - (n^2-4n+3)$
$= 2n-3$
$a_1 = S_1 = 1^2 - 2(1) = -1$
확인: $2(1)-3 = -1$. 일치. $a_n=2n-3$

😎 이치쌤 풀이

1. $S_n=n^2-2n$ → 2차식. $a_n$은 등차수열.
2. $A=1$ → 공차 $d=2A=2$.
3. $a_1 = S_1 = 1-2 = -1$.
4. $a_n = a_1+(n-1)d = -1+(n-1)2$
5. $a_n = 2n-3$
(끝)

어느 길로 갈지는 이제 여러분의 선택입니다.

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STEP 4: 실전 적용 모의고사 3점 문제 순식간에 풀기

Q: 수열 $\{a_n\}$의 합 $S_n = n^2 + 2n$ 일 때, $a_{10}$의 값을 구하시오. (2016년 9월 고2)

[머릿속 풀이 과정]
1. $S_n=n^2+2n$. 2차식이므로 $a_n$은 등차수열.
2. $A=1 \implies$ 공차 $d=2$.
3. $a_1 = S_1 = 1+2 = 3$.
4. $a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9 \times 2 = 21$.
답: 21. (예상 소요 시간: 5초)

STEP 5: 심화 응용 4점 문제: '치환'으로 구조를 간파하세요

4점 문제는 겁을 주기 위해 식을 복잡하게 포장하는 경우가 많습니다. 그 포장지를 뜯어내는 '치환' 기술만 있으면 본질은 같습니다. 복잡한 덩어리를 $b_k$로 바꿔치기 하는 순간, 문제는 3점짜리로 보이게 됩니다.

Q: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{4k-3}{a_{k}}=2n^{2}+7n$ 일 때, $a_{5}a_{7}a_{9}$의 값을 구하시오. (2020년 6월 고3)

[이치쌤 풀이 과정]
1. $\dfrac{4k-3}{a_k}$를 $b_k$로 치환한다.
2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_k = 2n^2 + 7n$. 즉, $\{b_n\}$은 등차수열.
3. $A=2 \implies$ 공차 $d=4$.
4. $b_1 = S_1 = 2+7 = 9$.
5. 일반항 $b_n = 9 + (n-1)4 = 4n+5$.
6. 치환 해제: $\dfrac{4n-3}{a_n} = 4n+5$.
7. $a_n = \dfrac{4n-3}{4n+5}$.
8. 값 대입: $a_5a_7a_9 = \dfrac{17}{25} \times \dfrac{25}{33} \times \dfrac{33}{41} = \dfrac{17}{41}$.

STEP 6: 최종 브리핑 이치쌤의 마지막 조언

강력한 무기는 언제, 어떻게 써야 하는지 아는 사람만이 제대로 다룰 수 있습니다.

• ✓사용 타이밍: 객관식, 단답형에서 시간을 압도적으로 줄여야 할 때. 검산용으로도 최고의 효율을 보입니다.
• ✗주의 타이밍: 서술형 평가. 채점자에 따라 정석 풀이를 요구할 수 있습니다. 상수항 C가 0이 아닐 때 첫째항이 예외라는 사실을 절대 잊지 마세요.

모든 기술은 '기본기'라는 단단한 땅 위에 서 있습니다. 기본을 잊는 순간, 기술은 오만함이 됩니다. 명심하세요.

자주 묻는 질문 (FAQ)

이 공식, 서술형에 써도 감점 안 되나요?

A. 채점자 성향에 따라 다릅니다. 가장 안전한 방법은 서술형에서는 $S_n-S_{n-1}$으로 풀이 과정을 보여주고, 이 공식은 답을 확인하는 '검산' 용도로 활용하는 것입니다.

$S_n$이 3차식이면 어떻게 되나요?

A. 좋은 질문입니다. 그 경우 $a_n$은 $n$에 대한 2차식이 됩니다(계차수열이 등차수열). 하지만 고교 과정에서는 거의 다루지 않으므로, 2차식 케이스만 완벽히 마스터해도 충분합니다.

상수항 $C\ne0$일 때, 왜 첫째항만 예외인가요?

A. $a_n=S_n-S_{n-1}$은 $n \ge 2$에서만 성립하는 약속이기 때문입니다. 첫째항 $a_1$은 이 규칙과 무관하게 오직 $S_1$으로만 정의됩니다. $C$는 이 둘의 차이를 만드는 오차항으로, 첫째항에만 영향을 줍니다.

모든 등차수열의 합은 항상 2차식인가요?

A. 네, 맞습니다. 등차수열의 합 공식 $S_n = \dfrac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}$를 $n$에 대해 정리하면 $S_n = (\dfrac{d}{2})n^2 + (a_1 - \dfrac{d}{2})n$ 이 됩니다. 정확히 상수항이 0인 $n$에 대한 2차식이죠.

이 방법을 쓰다가 실수할까 봐 걱정돼요.

A. 걱정하는 마음은 당연합니다. 그래서 '연습'이 필요합니다. 쉬운 문제 5~10개 정도만 이 방법으로 풀어보세요. 정석 풀이와 답이 똑같이 나오는 걸 몇 번 확인하고 나면 자신감이 붙고 실수는 줄어들 겁니다.

치환하는 문제가 너무 어려워요. 팁이 있나요?

A. 핵심은 '쫄지 않는 것'입니다. 문제가 복잡할수록 출제 의도는 단순합니다. $\sum$ 옆에 지저분한 식이 보이면, 그 전체를 $b_k$ 같은 간단한 문자로 바꿔보세요. 그러면 99% 확률로 우리가 아는 $\displaystyle\sum b_k = An^2+...$ 형태가 드러납니다.

이제 여러분이 증명할 차례입니다.

정보는 널려있습니다. 하지만 그것을 '자신의 것'으로 만드는 것은 오직 여러분의 몫입니다.
오늘 배운 내용을 머리로만 이해하지 말고, 손으로 직접 써보며 체화시키세요.
가지고 있는 문제집을 펴고, $S_n$이 2차식인 모든 문제를 이 방식으로 풀어보세요.

막히는 부분, 이해 안 가는 부분이 있다면 주저 말고 댓글로 질문하세요.
도망치지 않고 부딪히는 학생에게 이치쌤은 언제나 답을 줄 것입니다.

오늘의 훈련이 내일의 시간을 만듭니다.