(연속)x(불연속) 함수, 이 글 하나로 10초 만에 정복하는 법

이치쌤의 포근한 수학 교실

(연속) x (불연속) 함수?
이 원리 하나면 정말 끝!

내신, 모의고사, 수능 단골 출제 유형! 복잡한 계산 없이 '이것' 하나만 기억하면 어떤 문제든 10초 안에 풀리는 마법. 이치쌤이 다 떠먹여 줄게.

안녕하세요, 여러분! 이치쌤입니다.

수학 문제 풀다가 이런 생각 한 번쯤 해봤죠? "아, 이거 분명히 쉬운 방법이 있을 것 같은데..." 특히 함수의 연속성 파트에서 두 함수를 곱한 새로운 함수의 연속성을 따지는 문제!

하나는 멀쩡한 연속함수인데, 다른 하나는 특정 지점에서 뚝 끊겨있는 불연속함수일 때 말이에요. 좌극한, 우극한, 함숫값... 일일이 다 계산하려니 머리 아프고 시간은 부족하고.

그래서 오늘 준비했습니다. 이 유형의 문제를 보자마자 답을 외칠 수 있는 '치트키'를요. 하지만 단순 암기는 의미 없죠. 왜 그런 '치트키'가 통하는지, 그 근본 원리까지 확실하게 파헤쳐 드릴게요. 오늘 이 글 하나로 곱함수의 연속성 문제는 완전히 졸업시켜 드리겠습니다.

1. 핵심 원리: 0을 만드는 마법
2. 기본 문제풀이: 개념 적용하기
3. 원리 심층 탐구: 왜 0이어야만 하는가?
4. 응용 문제 1: 미지수가 숨어있을 때
5. 응용 문제 2: 분수 형태의 함정
6. 서술형 대비: 함부로 쓰면 감점?

🔑핵심 원리: 0을 만드는 마법

자, 정신 바짝 차리고 이것만 기억하세요. 이게 전부입니다.

연속함수와 불연속함수를 곱한 함수

$h(x) = f(x)g(x)$가
실수 전체에서 연속이 되려면,

불연속함수 $f(x)$가

$x=a$에서 불연속일 때,
연속함수 $g(x)$의 함숫값

$g(a)$가 반드시 0이어야 한다.

$g(a) = 0$

간단하죠? 불연속이 되는 그 지점, 그 문제의 원흉을 '0'으로 그냥 덮어버리는 겁니다. 어떤 수에 0을 곱하면 0이 되는 것처럼, 불연속으로 인해 발생하는 좌극한과 우극한의 값 차이를 '0'이라는 강력한 숫자로 곱해서 강제로 같게 만들어버리는 원리죠.

✏️기본 문제풀이: 개념 적용하기

백문이 불여일견. 말로만 들으면 감이 안 오죠? 바로 문제에 적용해 봅시다.

[ 예제 1 ]

두 함수 $f(x)=\begin{cases}-x+2 & (x>1) \\ x+3 & (x\le1)\end{cases}$ 와 $g(x)=x+k$에 대하여, 함수 $f(x)g(x)$가 $x=1$에서 연속일 때, 상수 $k$의 값은?

 

→ 이치쌤의 10초 풀이

1. $f(x)$는 $x=1$에서 우극한은 1, 좌극한/함숫값은 4로 명백히 불연속.
2. $g(x)=x+k$는 일차함수이므로 실수 전체에서 연속.
3. 핵심 원리 적용! $f(x)$가 불연속인 지점 $x=1$에서, 연속함수인 $g(x)$의 값이 0이어야 한다.
4. 즉, $g(1) = 0$.
5. $g(1) = 1+k = 0$. 따라서 $k = -1$.

정답: $k=-1$ 끝.

🤔원리 심층 탐구: 왜 0이어야만 하는가?

"아니, 쌤. 그렇게 날로 먹어도 돼요?"
네, 됩니다. 왜냐하면 이게 수학적 원리 그 자체거든요. 원래 FM대로 푸는 과정을 보면 바로 이해가 될 겁니다.

[ FM 풀이 과정 ]

함수 $f(x)g(x)$가 $x=1$에서 연속이려면 (우극한) = (좌극한) = (함숫값) 이어야 합니다.

1. 우극한:

$\lim\limits_{x\to1+} f(x)g(x) = \lim\limits_{x\to1+} (-x+2)(x+k) = (1)(1+k)$

2. 좌극한:

$\lim\limits_{x\to1-} f(x)g(x) = \lim\limits_{x\to1-} (x+3)(x+k) = (4)(1+k)$

이 둘이 같아야 하므로,

$1 \times (1+k) = 4 \times (1+k)$ 라는 식이 나옵니다.

자, 여기서 생각해보세요.

좌변의 '1'과 우변의 '4'는 이미 다른 숫자입니다.

$1 \neq 4$ 인데, 양쪽에 똑같은 $(1+k)$를 곱해서 등식을 성립시키려면

$(1+k)$가 뭐가 되어야 할까요?

네, 바로 0입니다. $1 \times 0 = 4 \times 0$ 이니까요.

그래서 $1+k=0$ 일 수밖에 없고,

$k=-1$ 이라는 동일한 결론이 나오는 겁니다.

우리가 '치트키'라고 부르는 건 사실 이 과정을 머릿속으로 빠르게 압축한 것에 불과해요.

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⚙️응용 문제 1: 미지수가 숨어있을 때

이번엔 한 단계 꼬아볼까요? 애초에 함수가 연속인지 불연속인지조차 모르는 상황입니다.

[ 예제 2 ]

함수 $f(x)=\begin{cases}x+1 & (x<1) \\ -x+a & (x\ge1)\end{cases}$ 에 대하여, 함수 $(x+a)f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 $a$의 값의 합은?

 

→ 이치쌤의 풀이 전략

이런 문제는 두 가지 시나리오를 모두 생각해야 합니다.

Case 1: $f(x)$ 자체가 연속일 경우

'연속 x 연속 = 연속' 이라는 기본 성질을 이용하는 거죠. $f(x)$가 $x=1$에서 연속이려면 좌극한과 우극한/함숫값이 같으면 됩니다.
$1+1 = -1+a$
따라서 $a=3$

Case 2: $f(x)$가 불연속일 경우

이때는 우리가 배운 핵심 원리를 적용할 차례! $f(x)$가 $x=1$에서 불연속이더라도, 함께 곱해지는 연속함수 $g(x)=x+a$가 $x=1$에서 0이 되면 됩니다.
$g(1)=1+a=0$
따라서 $a=-1$

가능한 $a$값은 3과 -1이므로, 모든 실수 $a$의 값의 합은 $3 + (-1) = 2$ 입니다.

💣응용 문제 2: 분수 형태의 함정

분수 꼴이 나와도 쫄 필요 없습니다. 곱하기로 바꿔 생각하면 똑같아요.

[ 예제 3 ]

두 함수 $f(x)=\begin{cases}x^2-3x+4 & (x<1) \\ 3 & (x\ge1)\end{cases}$ 와 $g(x)=2x+a$에 대하여, 함수 $\dfrac{g(x)}{f(x)}$가 실수 전체에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은?

 

→ 이치쌤의 풀이 전략

1. 관점 바꾸기: $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ 를 $g(x) \times \dfrac{1}{f(x)}$ 로 생각하세요.
2. 연속성 체크: $g(x)$는 연속. $f(x)$는 $x=1$에서 좌극한=2, 우극한=3이므로 불연속. 따라서 $\dfrac{1}{f(x)}$도 $x=1$에서 불연속.
3. 핵심 원리 적용: 불연속점 $x=1$에서 연속함수 $g(x)$가 0이 되어야 함.
4. $g(1) = 2(1)+a = 0$. 따라서 $a = -2$.

⚠️ 진짜 중요한 함정 체크!

분수 함수는 분모가 0이 되면 안 됩니다! 그래서 $f(x) \neq 0$ 인지 반드시 확인해야 해요.
- $x \ge 1$ 일 때, $f(x)=3$ 이므로 0이 아닙니다. (OK)
- $x < 1$ 일 때, $f(x)=x^2-3x+4$의 판별식 $D < 0$이므로 항상 0보다 큽니다. (OK)
따라서 분모가 0이 될 위험은 없네요. 최종 답은 $a=-2$가 맞습니다.

🚨서술형 대비: 함부로 쓰면 감점?

자, 이쯤 되면 드는 생각. "이거 서술형에 그대로 써도 되나요?"

결론부터 말하면, "학교 선생님께 꼭 확인받고 쓰세요."

이 풀이법은 원리를 완벽하게 담고 있지만, 채점 기준은 선생님의 재량에 따르는 경우가 많습니다. '좌극한, 우극한, 함숫값이 같음을 보이는' 정석적인 풀이 과정을 요구할 수도 있어요.

따라서 이 방법은 객관식이나 단답형 문제에서 시간을 버는 필살기로 사용하고, 서술형에서는 검산용으로 활용하거나, 정석 풀이(위의 '심층 탐구'에서 보여준)의 형태로 논리를 전개하는 것이 가장 안전합니다. 똑똑하게 써먹자고요!

자주 묻는 질문 (FAQ)

이 원리는 모든 종류의 함수에 적용되나요?

네, 기본적으로 한 함수는 특정 지점에서 연속이고 다른 함수가 그 지점에서 불연속(특히 좌극한, 우극한 값이 유한하지만 다른 '점프 불연속')이라면 항상 적용할 수 있습니다. 무한대로 발산하는 경우는 조금 다르게 접근해야 해요.

(연속) x (연속)이나 (불연속) x (불연속)은 어떻게 되나요?

(연속)x(연속)은 언제나 연속입니다. 이건 기본 성질이니 꼭 기억하세요. 하지만 (불연속)x(불연속)은 결과가 연속일 수도 있고, 불연속일 수도 있습니다. 이건 오늘 배운 원리가 통하지 않으니, 직접 좌극한/우극한/함숫값을 계산해서 확인해야 합니다.

불연속인 지점이 여러 개면 어떻게 해요?

아주 좋은 질문이에요. 만약 함수가 $x=a$, $x=b$, $x=c$에서 불연속이라면, 곱해지는 연속함수는 그 모든 지점, 즉 $x=a$, $x=b$, $x=c$에서 함숫값이 모두 0이 되어야 합니다.

분수 함수에서 분모가 0이 되는 경우는 꼭 확인해야 하나요?

네, 무조건입니다! 분모가 0이 되는 지점은 함수가 정의되지 않으므로 그 자체로 불연속이 됩니다. 오늘 배운 원리를 적용하기 전에 분모가 0이 되는지부터 확인하는 습관을 들이세요. 출제자들이 가장 좋아하는 함정 중 하나입니다.

자, 이제 곱함수 연속성 문제는 자신 있죠?

어떤가요, '불연속점'에서 '연속함수'의 함숫값이 '0'이다. 이 세 가지 키워드만 머릿속에 넣으면 순식간에 문제가 풀리죠? 하지만 가장 중요한 건 이 원리가 왜 성립하는지를 이해하는 겁니다. 원리를 아는 사람은 응용 문제나 함정 문제에도 절대 흔들리지 않으니까요.

오늘 내용이 도움이 되었다면 공감 버튼 꾹! 궁금한 점이나 '저는 이런 방법으로도 풀어요!' 하는 자신만의 꿀팁이 있다면 주저 말고 댓글로 공유해주세요. 이치쌤은 언제나 여러분의 수학 공부를 진심으로 응원합니다!