수학 1등급은 다 아는 등차수열 풀이법 (학교에서는 안 알려줌)
등차수열,
풀이의 격을 높이다
가장 본질적인 개념, 센터항으로 증명하는 명품 풀이
안녕하세요, 이치쌤입니다.
좋은 풀이란 무엇일까요? 단순히 답을 맞히는 것을 넘어, 문제의 본질을 꿰뚫고 가장 우아하고 간결한 경로를 제시하는 것입니다. 많은 학생들이 등차수열 합 공식에 숫자를 대입하며 귀한 시간을 허비합니다. 하지만 최상위권 학생들은 다릅니다. 그들은 문제의 구조를 보고, 가장 효율적인 해법을 찾습니다. 오늘, 여러분을 그 경지로 이끌어 줄 '센터항'과 '합의 대칭성'이라는 두 가지 핵심 개념을 소개합니다. 이 글을 끝까지 읽는다면, 여러분의 풀이는 더 이상 평범한 풀이가 아닌, 하나의 '작품'이 될 것입니다.
최적의 학습 환경을 위한 안내
수학 풀이와 수식이 포함된 콘텐츠입니다. 정확한 내용 확인과 학습 효과를 위해, 스마트폰보다는 컴퓨터나 태블릿으로 보시는 것을 권장합니다.
Concept 1.
센터항 (Center Term)
센터항이 명확하게 보일 때, 우리는 이 가장 강력하고 직관적인 도구를 사용합니다. 등차수열의 합은 (센터항) × (항의 개수) 라는 단 하나의 진리로 요약됩니다.
자, 그럼 이 '센터항' 개념이 실제 기출문제에서 어떻게 힘을 발휘하는지 직접 확인해 보겠습니다.
[실전 적용] 센터항을 이용한 문제 풀이
[2024년 9월 고2 23번/3점]
등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_3+a_5+a_7=18$일 때, $a_4+a_6$의 값은?
The Solution_
$a_3, a_5, a_7$의 센터항은 $a_5$.
$3a_5 = 18$ 이므로, $a_5 = 6$.
구하려는 $a_4+a_6$의 센터항 역시 $a_5$.
따라서 $a_4+a_6 = 2a_5 = 2 \times 6 = \mathbf{12}$.
[2020년 10월 고3 이과 3번/2점]
등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_3=2, a_7=62$일 때, $a_5$의 값은?
The Solution_
$a_3$과 $a_7$의 센터항은 $a_5$.
$a_3 + a_7 = 2a_5$.
$2 + 62 = 2a_5 = 64$.
따라서 $a_5 = \mathbf{32}$.
Concept 2.
합의 대칭성 (Symmetry of Sum)
센터항이 명확하지 않거나, 주어진 항들의 관계를 재구성해야 할 때, 우리는 합의 대칭성을 사용합니다. 항 번호의 합이 같다면 그 항들의 값의 합도 같다는 원리($a_m+a_n = a_p+a_q$ if $m+n=p+q$)를 이용해 식을 자유자재로 변형하는 것입니다.
이제 이 유연한 사고가 필요한 문제들을 만나보겠습니다.
[실전 적용] 합의 대칭성을 이용한 문제 풀이
[2020년 4월 고3 이과 23번/3점]
등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_1=6, a_3+a_6=a_{11}$일 때, $a_4$의 값을 구하시오.
The Solution_
$a_1$을 알기 때문에, $a_3+a_6$을 $a_1$을 포함한 식으로 변환합니다.
$3+6 = 9 = 1+8$ 이므로, $a_3+a_6 = a_1+a_8$.
주어진 식은 $a_1+a_8 = a_{11}$ 이 됩니다.
$a_1 = a_{11} - a_8 = 3d$.
$a_1=6$이므로, $3d=6$, 즉 $d=2$.
$a_4 = a_1+3d = 6+3(2) = \mathbf{12}$.
[2020년 3월 고3 문과 4번/3점]
등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_2+a_3=2(a_1+12)$일 때, 수열 $\{a_n\}$의 공차는?
The Solution_
$2+3=5=1+4$ 이므로, $a_2+a_3=a_1+a_4$.
주어진 식은 $a_1+a_4=2a_1+24$.
정리하면 $a_4-a_1 = 24$.
$a_4-a_1 = 3d$ 이므로, $3d=24$.
따라서 $d=\mathbf{8}$.
Advanced Application:
4점 공략
두 개념이 융합된 4점짜리 문제에서 이 풀이의 진정한 가치가 드러납니다. 복잡한 조건 속에서 핵심을 꿰뚫어 보세요.
[2016년 11월 고3 문과 15번/4점]
공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_2$의 값은?
(가) $a_6+a_8=0$ (나) $|a_6|=|a_7|+3$
The Solution_
(가) 조건에서 센터항은 $a_7$. 즉 $2a_7=0 \implies a_7=0$.
(나) 조건에 $a_7=0$을 대입하면, $|a_6| = |0|+3 \implies |a_6|=3$.
공차가 양수이므로 항은 증가합니다. 즉, $a_6 < a_7$.
따라서 $a_6=-3$ 입니다.
공차 $d = a_7 - a_6 = 0 - (-3) = 3$.
$a_2 = a_7 - 5d = 0 - 5(3) = \mathbf{-15}$.
[2019년 4월 고3 문과 14번/4점]
공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_9=|S_3|=27$일 때, $a_{10}$의 값은?
The Solution_
$S_9=27$에서, 센터항은 $a_5$. 즉 $9a_5=27 \implies a_5=3$.
$|S_3|=27$에서, 센터항은 $a_2$. 즉 $|3a_2|=27 \implies |a_2|=9$.
공차가 양수이고 $a_5=3$이므로, $a_2$는 $a_5$보다 작아야 합니다.
만약 $a_2=9$이면 $a_5$가 3이 되려면 공차가 음수여야 하므로 모순입니다.
따라서 $a_2=-9$.
$a_5-a_2 = 3d = 3 - (-9) = 12 \implies d=4$.
$a_{10} = a_5 + 5d = 3 + 5(4) = \mathbf{23}$.
The Difference in Class
STANDARD APPROACH
[문제] [2021년 9월 고2 7번] $a_3+a_6=25$, $a_8=23$ 일 때 $a_4$는?
$a_3=a_1+2d, a_6=a_1+5d$.
$(a_1+2d) + (a_1+5d) = 2a_1+7d = 25$ --- (1)
$a_8=a_1+7d = 23$ --- (2)
(1)과 (2)를 연립하여, $a_1=2, d=3$.
$a_4 = a_1+3d = 2+3(3) = 11$.
LUXURY SOLUTION
[해석] 대칭성을 이용한다.
$a_3+a_6 = a_1+a_8 = 25$.
$a_8=23$ 이므로, $a_1+23 = 25 \implies \mathbf{a_1=2}$.
$a_8-a_1 = 7d = 23-2=21 \implies \mathbf{d=3}$.
$a_4=a_1+3d = 2+9 = \mathbf{11}$.
Q & A
서술형 시험에 이 풀이를 써도 괜찮을까요?
물론입니다. 이 풀이는 편법이 아닌, '등차중항'이라는 교과서의 핵심 개념을 가장 정교하게 사용하는 방법입니다. '등차중항의 성질에 의하여'라는 문장 한 줄만 추가하면, 그 어떤 풀이보다 논리적이고 세련된 답안이 됩니다.
모든 문제에 적용 가능한 만능 풀이법인가요?
'만능'이 아닌 '최적'의 풀이입니다. 항들의 합이나 대칭적 구조가 주어진 문제에서 이 방법은 다른 어떤 풀이보다 빠르고 정확합니다. 문제의 조건을 보고 어떤 도구를 사용할지 판단하는 능력, 그것이 진짜 실력입니다.
어떻게 연습해야 실전에서 사용할 수 있을까요?
'체화(體化)'의 과정이 필요합니다. 문제집을 풀 때, 기계적으로 공식을 대입하기 전에 딱 3초만 '이 문제에 센터항이나 대칭성을 쓸 수 있을까?'라고 스스로에게 질문을 던져보세요. 이 짧은 고민이 쌓여 여러분의 풀이 수준을 바꾸게 될 것입니다.
질문은 가장 뛰어난 학습법입니다.
오늘 배운 내용, 혹은 수학 공부를 하다가 마주하는 어떤 어려움이라도 좋습니다. 혼자 끙끙 앓지 마세요. 막혔던 부분이 있다면 주저하지 말고 댓글로 질문을 남겨주세요. 여러분의 질문 하나하나가 더 깊은 이해로 나아가는 계단이 될 것입니다. 이치쌤이 항상 함께하겠습니다.