아직도 부등식 정석으로 푸니? 시험 시간을 90% 아껴주는 이 방법

 

1. 핵심 원리: 부등식의 경계는 방정식의 해
2. 기본 적용: 일차부등식 뽀개기
3. 응용 1단계: 연립일차부등식 정복
4. 응용 2단계: 이차부등식과 근과 계수의 관계
5. 심화 적용: 복잡한 이차부등식도 한 방에!
6. 이것만은 꼭! 최종 정리 및 주의사항

부등식, 아직도 정석대로 푸세요?

방정식으로 5초컷! 시험 시간 버는 비법 공개

안녕하세요, 여러분! 이치쌤입니다.

수학 문제 풀다 보면 이런 생각 한 번쯤 해보셨죠?
"아, 이거 언제 다 계산하고 앉아있어..."

특히 부등식 문제!
부등호 방향 바뀌는 거 신경 쓰랴, 범위 나누랴... 머리 아프셨죠?
제가 오늘 여러분의 그 고민, 아주 시원하게 해결해 드릴게요.
복잡한 부등식을 단순한 '방정식'으로 바꿔서 순식간에 풀어버리는,
아는 사람만 아는 '치트키' 같은 방법을 알려드릴 테니, 눈 크게 뜨고 따라오세요!

---

STEP 1: 핵심 원리
부등식의 경계는 방정식의 해!

모든 것의 시작은 이 한 문장입니다.
"부등식의 해의 경계가 되는 값은 방정식의 해와 같다."

이게 무슨 말이냐고요?
예를 들어 $x > 3$ 이라는 해가 나왔다면, 그 경계값은 $x=3$ 이죠.
바로 그 경계값이, 부등호를 등호(=)로 바꾼 방정식의 해가 된다는 겁니다.
이 간단한 원리 하나로, 모든 부등식 문제가 얼마나 쉬워지는지 지금부터 보여드릴게요.

기본 적용: 일차부등식 뽀개기

자, 보세요. 부등식 $ax-2<7$의 해가 $x>-3$이라고 했죠?
해의 경계가 되는 값이 뭐라고요? -3 이죠.
그럼 우린 뭘 생각해야 할까요?
$ax-2=7$ 의 해가 $x=-3$ 이구나!

방정식의 해가 주어지면? 고민도 없이 바로 대입입니다.
$x$에 $-3$을 대입하면,
$a(-3) - 2 = 7$
$-3a - 2 = 7$
$-3a = 9$
따라서 $a = -3$. 끝!
어때요? 부등호 방향 같은 거 신경 쓸 필요도 없죠?

응용 1단계: 연립일차부등식 정복

연립부등식도 원리는 똑같습니다. 그냥 짝짓기만 잘하면 돼요.

2번 문제부터 봅시다. 해가 $-1 < x \le b$ 죠?
부등호 모양을 잘 보세요. 등호가 없는 '>' 와 등호가 있는 '≤' 입니다.
문제에 있는 두 식, $3x+1 > 2a$ 와 $3(x-2) \le x+4$ 도 그렇죠?
그럼 짝은 정해졌네요.
$3x+1 > 2a$ 의 경계는 $x=-1$
$3(x-2) \le x+4$ 의 경계는 $x=b$

이제 각각 방정식으로 풀면 끝입니다.
$3(-1)+1 = 2a \implies -2 = 2a \implies$ $a=-1$
$3(x-2) = x+4$ 를 풀면, $3x-6=x+4 \implies 2x=10 \implies x=5$. 이게 b 값이니까 $b=5$

---

3번 문제도 마찬가지.
먼저 풀 수 있는 $-3x-7 < 2$ 부터 계산하면, $-3x < 9 \implies x > -3$.
(앗, 음수로 나눌 때 부등호 방향 바뀌는 건 기본 중의 기본! 절대 까먹지 마세요!)
전체 해가 $b < x < 2$ 라고 했으니, 방금 구한 $x > -3$ 과 비교하면? $b=-3$ 이 바로 나오죠.
남은 해의 경계는 $x=2$ 니까, 다른 식 $4x+2(x-3) < a$ 에 대입!
$4(2) + 2(2-3) = a \implies 8 - 2 = a \implies$ $a=6$

반응형

STEP 2: 응용 심화
이차부등식과 근과 계수의 관계

이차부등식이라고 다를 거 없습니다. 원리는 똑같아요.
$x^2+ax+b \le 0$ 의 해가 $-2 \le x \le 4$ 라는 건,
경계값 $-2$와 $4$가 바로 방정식 $x^2+ax+b=0$의 두 근이라는 뜻!

이차방정식과 두 근? 바로 '그분'이 떠올라야죠.
네, 바로 근과 계수의 관계입니다.

[참고] 근과 계수의 관계 (클릭해서 펼치기)

이차방정식 $Ax^2+Bx+C=0$의 두 근을 $\alpha, \beta$ 라고 할 때,
- 두 근의 합: $\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$
- 두 근의 곱: $\alpha \beta = \frac{C}{A}$

자, 이걸 문제에 적용해 봅시다.
두 근의 합: $(-2) + 4 = 2 = -a \implies$ $a=-2$
두 근의 곱: $(-2) \times 4 = -8 = b \implies$ $b=-8$
정말 간단하죠?

심화 적용: 복잡한 이차부등식도 한 방에!

이 방법은 문제가 복잡해질 때 진짜 빛을 발합니다.
$x^2+ax+b > 0$의 해가 $x<-3$ 또는 $x>4$ 이므로,
방정식 $x^2+ax+b=0$의 두 근은 $-3$과 $4$입니다.
근과 계수의 관계를 쓰면,
두 근의 합: $(-3)+4 = 1 = -a \implies$ $a=-1$
두 근의 곱: $(-3) \times 4 = -12 = b \implies$ $b=-12$

자, 이제 이걸 두 번째 부등식 $x^2-bx+a<0$ 에 대입합니다.
$x^2 -(-12)x + (-1) < 0 \implies$ $x^2+12x-1<0$

여기까지 잘 따라왔다면, 이걸 인수분해하려고 끙끙대거나 근의 공식을 쓰고 있으면 안됩니다!
우리가 찾으려는 건 $\alpha^2+\beta^2$이지, $\alpha$와 $\beta$가 아니잖아요?
이 부등식의 해가 $\alpha < x < \beta$ 라는 건, 방정식 $x^2+12x-1=0$의 두 근이 바로 $\alpha$와 $\beta$라는 뜻!
또 근과 계수의 관계를 쓰는 겁니다.
$\alpha + \beta = -12$
$\alpha\beta = -1$

곱셈 공식을 이용하면,
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$
$= (-12)^2 - 2(-1) = 144 + 2 =$ 146
끝!! 정말 강력하죠?

최종 정리 및 주의사항

오늘 배운 핵심, 딱 두 가지만 기억하세요.
1. 부등식의 경계는 방정식의 해와 같다. 부등호를 등호로 바꿔서 풀어라.
2. 이차부등식의 경계(근)가 나오면, 근과 계수의 관계를 떠올려라.

단, 주의할 점! 이 방법은 해의 '경계값'을 쉽게 찾는 기술입니다.
최고차항의 계수가 양수인지 음수인지, 부등호의 방향이 '>' 인지 '<' 인지에 따라 해의 범위(예: $x < \alpha$ 또는 $x > \beta$ 인지, $\alpha < x < \beta$ 인지)는 달라져요.
이 최종적인 범위 판단은 기본 개념을 정확히 알고 있어야 합니다!
하지만 미지수 a, b를 찾는 과정은 이 방법으로 엄청나게 빨라질 거예요.

---

자주 묻는 질문 (FAQ)

1. 왜 이 방법이 통하는 건가요? 함수의 그래프를 생각하면 쉬워요. 부등식 $f(x)>0$의 해는 함수 $y=f(x)$의 그래프가 x축보다 위에 있는 x의 범위죠. 그 경계점은 정확히 x축과 만나는 지점, 즉 $f(x)=0$이 되는 방정식의 해이기 때문입니다.
2. 이 방법을 쓸 때 가장 흔하게 하는 실수는 뭔가요? 단연코 '음수로 곱하거나 나눌 때 부등호 방향을 바꾸지 않는 것'입니다. 이 방법은 계산 과정을 단축시킬 뿐, 부등식의 기본 성질을 무시하진 않아요. 이건 정말 백 번 강조해도 지나치지 않습니다!
3. 이차부등식에서 최고차항 계수가 미지수면 어떻게 하죠? 아주 좋은 질문이에요! 만약 $ax^2+bx+c>0$ 처럼 최고차항 계수 $a$가 미지수라면, $a>0$일 때와 $a<0$일 때로 경우를 나누어서 생각해야 합니다. $a$의 부호에 따라 부등호 방향과 해의 형태가 완전히 달라지기 때문이죠.
4. 5번 문제처럼 인수분해가 안 되면 무조건 근의 공식을 써야 하나요? 아니요! 문제가 무엇을 요구하는지 보세요. 5번 문제는 $\alpha, \beta$ 각각의 값을 묻는 게 아니라 $\alpha^2+\beta^2$이라는 '식의 값'을 물었죠. 이럴 땐 근의 공식을 쓰는 게 아니라, 근과 계수의 관계를 이용해 식의 값을 구하는 게 훨씬 빠르고 정확합니다.
5. 서술형 시험에서도 이 방법을 써도 감점 안 당할까요? 답만 적는 단답형이라면 최고의 무기입니다. 하지만 서술형이라면 '부등식의 해의 경계는 해당 방정식의 실근과 같으므로...' 와 같이 논리적인 근거를 한 줄 추가해 주는 것이 좋습니다. 풀이 과정을 생략하지 말고, 이 원리를 적용하여 풀었다는 것을 명확히 보여주면 감점될 이유가 없습니다.

자, 오늘 저와 함께 부등식을 새롭게 바라보는 시간을 가졌는데 어떠셨나요?
수학은 무작정 외우고 푸는 과목이 아니에요.
이렇게 원리를 꿰뚫어 보면, 복잡한 문제도 아주 간단하게 만들 수 있답니다.
오늘 배운 방법, 꼭 여러분의 것으로 만들어서 시험장에서 시간 버는 효자 기술로 활용하시길 바랍니다.

오늘 내용 중 가장 인상 깊었던 부분이나, 자신만의 또 다른 꿀팁이 있다면 댓글로 자유롭게 공유해주세요!