다항식 계산, 아직도 무식하게 푸니?
항등식의 숨겨진 힘으로 계산 시간을 10배 단축시키는 마법!
안녕하세요, 여러분! 이치쌤입니다. 혹시 이런 생각, 해본 적 없으신가요?
"아... 또 계산 실수..."
"이 복잡한 걸 어느 세월에 다 풀고 있지?"
매번 발목을 잡는 지긋지긋한 다항식 계산,
오늘은 정말 '인생 치트키'가 될 비법을 알려드릴게요.
💡 잠깐! 스포일러 하나 할게요.
오늘의 최종 보스, 4번 문제.
이거 원래대로 풀면 통분하고 계산하다 5분 그냥 갑니다.
하지만 오늘 배울 방법을 쓰면? 단 30초면 충분해요.
못 믿으시겠다고요? 좋습니다. 그러니 오늘 글, 중간에 절대 나가지 말고 끝까지 저와 함께 마법 같은 순간을 확인해보세요!
🤔 항등식, 개념부터 확실하게
자, 일단 항등식의 개념부터 확실하게 잡고 가야겠죠?
이거 중학교 1학년 때 배우는 건데, 생각보다 많은 친구들이 그냥 지나쳐요.
항등식이란 말 그대로 '항상 등식이 성립하는 식'을 말해요.
풀어서 설명하면, 어떤 미지수(주로 x)에 어떤 값을 넣어도 항상 참이 되는 등식이죠.
예를 들어볼까요?
이라는 식이 있다고 해봐요.
좌변은 그대로 2x + 3 이고, 우변을 정리하면 2x + 2 + 1 = 2x + 3 이 되죠.
어때요? 좌변과 우변이 완벽하게 똑같이 생겼죠?
이렇게 양변의 식이 완전히 똑같이 생겨서 어떤 x 값을 넣어도 항상 등호가 성립하면 그게 바로 항등식이에요.
즉, 양변의 각 문자의 계수가 같고, 상수항까지 모두 같으면 그 식은 항등식인 거예요.
이 성질을 잘 이용하면 나중에 복잡한 다항식 계산에서 엄청난 위력을 발휘한답니다!
✍️ 실전 감각 깨우기
【 문제 1 】 가장 기본적인 항등식 문제
이 문제는 사실 그냥 풀어도 쉽지만, 우리는 항등식의 성질을 이용하는 '연습'을 해볼게요.
문제의 의미는 5x + 3 - (ax + b)와 2x - 1이 같다는 거죠. 즉,
이 식이 바로 항등식입니다. 좌변을 정리해볼까요?
이제 양변의 계수와 상수항을 비교하면 끝!
- x의 계수: 5 - a = 2 ➡️ a = 3
- 상수항: 3 - b = -1 ➡️ b = 4
따라서 a - b = 3 - 4 = -1 입니다.
물론 그냥 일차항은 일차항끼리, 상수항은 상수항끼리 계산하는 방법이 훨씬 편하다는 건 나도 알아. 하지만 쉬운 문제로 연습을 해놓고 다음 문제를 보자.
【 문제 2 】 분수가 나와도 쫄지 말자!
분수가 나오면 갑자기 어렵게 느껴지죠? 괜찮아요. 분수는 없애버리면 그만입니다.
먼저, 문제의 식을 항등식으로 표현해봅시다.
3
2
분모 3과 2가 거슬리니, 양변에 최소공배수인 6을 곱해줍시다.
훨씬 보기 편해졌죠? 이제 좌변을 정리해볼게요.
다 왔습니다! 이제 계수를 비교해볼까요?
- x의 계수: 1 = 6a ➡️ a = 1/6
- 상수항: -8 = 6b ➡️ b = -4/3
문제에서 요구하는 2a-b의 값은 2(1/6) - (-4/3) = 1/3 + 4/3 = 5/3 입니다.
【 문제 3 】 분수와 소수의 콜라보!
이번엔 분수와 소수가 함께 나왔네요. 하지만 우리의 목표는 단 하나, '계산 결과를 구하는 것'입니다.
계산 결과를 ax+b라고 두고 항등식을 세워봅시다.
4
0.5는 1/2과 같으니, 이번엔 양변에 4를 곱해서 식을 깔끔하게 만들죠.
이제부터는 익숙하죠? 좌변을 정리하면,
계수 비교 들어갑니다!
- x의 계수: 1 = 4a ➡️ a = 1/4
- 상수항: -8 = 4b ➡️ b = -2
따라서 계산 결과는 1/4x - 2 입니다.
근데 여기까지 보다 보면 "이런 걸 굳이 알아야 해?"
같은 생각이 들 수도 있어. 하지만 밑에 문제의 풀이를 본다면 달라질걸?
우린 이걸 하기 위해서 여기까지 온 거야.
✨ 진짜 마법은 지금부터
오늘 우리가 이 글을 읽는 이유,
지금 이 문제를 가장 우아하고 빠르게 풀기 위해서입니다.
【 문제 4 】 계수와 상수항의 합 구하기
자, 이 식. 통분하고, 계산하고, 정리하려면... 끔찍하죠?
하지만 우린 '계수와 상수항의 합' 즉, a+b만 구하면 됩니다.
여기서 항등식의 두 번째 기술, '수치 대입법'이 등장합니다.
2
3
4
이 식은 항등식이니까 x값에 상관없이 항상 참입니다. 동의하시죠?
그렇다면 내가 구하고 싶은 a+b를 한 번에 구하기 위해 x에 어떤 값을 넣으면 좋을까요?
네, 바로 x=1을 대입하면 우변이 a(1)+b = a+b 가 되어 바로 답을 얻을 수 있습니다!
양변에 x=1 을 대입하면,
2
3
4
0 - (-1) + 1/2 = a + b
1 + 1/2 = a + b
어때요? 복잡한 통분 없이, 단지 x=1 하나로 게임이 끝나버렸습니다.
🤔 이치쌤, 질문 있어요!
ax+b에 x=1을 대입하면 a+b가 되기 때문이죠. 문제의 요구에 따라 가장 효과적인 숫자를 대입하는 것이 '수치 대입법'의 핵심입니다.수학은 정해진 길로만 가는 딱딱한 학문이 아니에요.
개념의 본질을 꿰뚫어 보면, 이렇게 자유롭고 창의적인 길을 찾을 수 있죠.
오늘 배운 이 '발상의 전환'이 여러분의 수학에 즐거움을 더해주길 바랍니다.
자, 이제 여러분의 차례입니다.
정석적인 풀이와 오늘 배운 '수치 대입법',
실전에서 나라면 어떤 방법을 선택할 것 같나요?
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