과부족 문제, 30초 버는 '이 공식' 모르면 무조건 손해 봅니다.

1. 도대체 '과부족 문제'가 뭔데? 🤔
2. 시간 다 뺏는 정석 풀이법의 현실 😥
3. 남들보다 30초 버는 '비밀 공식' 🚀
4. 실전 적용 1: 전설의 '의자 문제' 박살내기 💥
5. 실전 적용 2: 헷갈리는 '사탕 문제' 정복! 🍬
6. 실전 적용 3: 일반 부등식도 '한 방에' ⚡

연립일차부등식 활용,
1초라도 빨리 푸는 '비밀' 공식

(과부족 문제 완벽 정복)

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"아, 시간만 더 있었어도..."
시험 볼 때마다 이 생각하는 사람, 솔직히 손들어 봅시다.
맨날 시간 부족한 너, 들어와.
식만 제대로 세우면 남들보다 30초는 버는 '꼼수' 알려줄게.

안녕하세요, 여러분! '진짜' 수학을 알려주는 이치쌤입니다.

우리 학생들, 특히 시험만 봤다 하면 시간이 부족해서 마지막 문제들은 찍다시피 하는 경우 정말 많죠?
특히 연립일차부등식의 활용, 그중에서도 '과부족 문제'는 식 세우는 것도 벅찬데, 계산까지 복잡해서 우리를 괴롭히곤 합니다.

하지만 만약, 그 복잡한 계산 과정을 획기적으로 줄일 수 있는 방법이 있다면 어떨까요?
오늘은 제가 여러분의 시험 시간을 최소 30초, 아니 1분까지도 아껴줄 수 있는 마법 같은 풀이법을 들고 왔습니다.
이건 편법이 아니라, 원리를 이용한 '스마트한' 방법이니 믿고 따라오세요!

STEP 1. 도대체 '과부족 문제'가 뭔데? 🤔

'과부족 문제', 말 그대로 '남거나(과) 모자라는(부족)' 상황을 다루는 문제 유형을 말해요.

"학생들에게 사탕을 나눠주는데, 4개씩 주면 12개가 남아돌고, 7개씩 주면 마지막 학생은 몇 개 못 받는다" 거나, "긴 의자에 3명씩 앉으면 5명이 서 있고, 4명씩 앉으면 의자가 3개 남는다" 같은 문제들이 대표적이죠.

이 문제들의 핵심은 '전체 학생 수'나 '전체 사탕 수'처럼, 두 가지 다른 상황에서도 변하지 않는 '총량'을 미지수 x를 이용한 부등식으로 표현하는 데 있습니다. 식만 세우면 절반은 푼 거나 마찬가지지만, 그 식을 푸는 과정에서 시간을 다 잡아먹는 게 현실이죠.

STEP 2. 시간 다 뺏는 정석 풀이법의 현실 😥

보통 이런 과부족 문제는 $A < B < C$ 꼴의 연립부등식으로 표현됩니다.
그리고 우리 대부분은 이걸 어떻게 풀라고 배우나요?

맞아요. $A < B$ 와 $B < C$ 두 개의 부등식으로 쪼개서 푼 다음, 두 해의 공통 범위를 구하는 방식으로 풀죠.
예를 들어, $4x - 15 \le 3x + 5 \le 4x - 12$ 라는 식이 나왔다고 칩시다.
정석대로라면,

• [1단계] $4x - 15 \le 3x + 5$ 를 푼다. ($x \le 20$)
• [2단계] $3x + 5 \le 4x - 12$ 를 푼다. ($-x \le -17$, 즉 $x \ge 17$)

이렇게 두 번 계산해서 공통 범위인 $17 \le x \le 20$ 를 구해야 합니다.
물론 이게 틀린 방법은 아니에요. 하지만 시험은 뭐다? 시간 싸움이다!
한 문제라도 더 검토할 시간을 벌어야 하는 우리에겐, 이 과정조차 너무 길게 느껴집니다.

STEP 3. 남들보다 30초 버는 '비밀 공식' 🚀

자, 이제부터 집중하세요. 여러분의 시간을 아껴줄 비법을 공개합니다.
비법은 아주 간단합니다.

$A < B < C$ 꼴의 부등식에서,
양쪽 끝 항인 A와 C의 $x$ 계수가 같다면,
세 항 모두에서 그 $x$항을 한 번에 빼버려라!

이게 무슨 말이냐고요? 아까 그 문제로 다시 돌아가 보죠.
$4x - 15 \le 3x + 5 \le 4x - 12$

여기서 양쪽 끝 항의 $x$ 계수가 뭘로 똑같죠? 네, 바로 $4x$ 입니다.
그렇다면 세 항 모두에서 $4x$를 통째로 빼버리는 겁니다.

  4x - 15  ≤  3x + 5  ≤  4x - 12
- 4x        - 4x        - 4x
----------------------------------
  -15      ≤  -x + 5  ≤   -12
        

어때요? 두 번 계산할 필요 없이, 한 번의 연산으로 $x$가 하나만 남는 훨씬 간단한 부등식이 만들어졌습니다.
이제 마무리 계산만 해주면 끝나는 거죠. 이 작은 차이가 실전에서는 엄청난 시간 단축으로 이어진답니다!

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실전 1. 전설의 '의자 문제' 박살내기 💥

[문제 1]

어느 반 학생들이 긴 의자에 앉으려고 한다. 한 의자에 3명씩 앉으면 학생이 5명 남고, 4명씩 앉으면 의자가 3개 남을 때, 다음 중 의자의 개수가 될 수 없는 것은?

① 17 ② 18 ③ 19 ④ 20 ⑤ 21

자, 먼저 의자의 개수를 $x$라고 두고 식을 세워봅시다.
• 3명씩 앉으면 학생 5명 남음 → 학생 수 = $3x + 5$
• 4명씩 앉으면 의자 3개 남음 → 학생들이 $(x-4)$개의 의자에는 꽉 채워 앉고, 나머지 한 의자에는 최소 1명에서 최대 4명까지 앉을 수 있음.
→ 학생 수: $4(x-4) + 1 \le \text{학생 수} \le 4(x-4) + 4$

이 두 조건을 합치면 이런 식이 탄생합니다.

$4(x-4) + 1 \le 3x + 5 \le 4(x-4) + 4$

괄호를 풀어서 정리하면,

$4x - 15 \le 3x + 5 \le 4x - 12$

어? 방금 본 식이죠? 양쪽 끝에 $4x$가 보입니다! 바로 써먹어야죠.
세 항 모두에서 $4x$를 빼버립시다.
$-15 \le -x + 5 \le -12$

이제 5를 빼주고,
$-20 \le -x \le -17$

마지막으로 -1을 곱해서 부등호 방향을 바꿔주면,
$17 \le x \le 20$

따라서 의자의 개수는 17, 18, 19, 20개가 가능하고, 될 수 없는 것은 21개. 정답은 ⑤번입니다! 어때요, 정말 빠르죠?

실전 2. 헷갈리는 '사탕 문제' 정복! 🍬

[문제 2]

학생들에게 사탕을 나누어 주는데 한 학생에게 4개씩 나누어 주면 12개가 남고, 7개씩 나누어 주면 마지막 한 학생은 2개 이상 6개 미만을 받는다고 한다. 이때 사탕의 개수는?

이번엔 학생 수를 $x$로 놓고 식을 세워볼게요.
• 4개씩 주면 12개 남음 → 사탕 수 = $4x + 12$
• 7개씩 주면 마지막 학생은 2개 이상 6개 미만 받음 → $(x-1)$명의 학생은 7개씩 받고, 마지막 학생이 2~5개를 받음.
→ $7(x-1) + 2 \le \text{사탕 수} < 7(x-1) + 6$

두 조건을 합쳐봅시다.

$7(x-1) + 2 \le 4x + 12 < 7(x-1) + 6$

괄호를 풀면,

$7x - 5 \le 4x + 12 < 7x - 1$

왔네요! 양쪽 끝에 $7x$가 떡하니 버티고 있습니다.
세 항 모두에서 $7x$를 시원하게 빼주세요.
$-5 \le -3x + 12 < -1$

이제 12를 빼주고,
$-17 \le -3x < -13$

-3으로 나누면서 부등호 방향을 바꿔주면,
$\frac{17}{3} \ge x > \frac{13}{3}$

$5.66... \ge x > 4.33...$ 이므로, 학생 수($x$)는 자연수니까 5명입니다.
문제에서 물어본 것은 사탕의 개수이므로, 학생 수 5명을 사탕 수 공식($4x+12$)에 대입하면 $4(5)+12 = \bf{32}$개! 간단하죠?

실전 3. 일반 부등식도 '한 방에' ⚡

[문제 3]

연립부등식 $0.3x - 1 < 0.5x + \frac{2}{5} \le 3 + 0.3x$의 해가 $a < x \le b$일 때, 실수 $a, b$에 대하여 $a - b$의 값을 구하시오.

이건 과부족 활용 문제는 아니지만, 우리들의 시간을 아껴주는 '비밀 공식'을 써먹기 딱 좋은 문제입니다.
소수와 분수가 섞여 있으니, 계산하기 편하게 모든 항에 10을 곱해줍시다.

$3x - 10 < 5x + 4 \le 30 + 3x$

자, 보이시나요? 양쪽 끝 항의 $x$ 계수가 $3x$로 같습니다.
"땡큐!"를 외치며 세 항에서 모두 $3x$를 빼줍니다.

계산 과정	결과
세 항에서 $3x$ 빼기	$-10 < 2x + 4 \le 30$
세 항에서 4 빼기	$-14 < 2x \le 26$
세 항을 2로 나누기	$-7 < x \le 13$

따라서 $a = -7$, $b = 13$ 입니다.
문제에서 요구하는 $a-b$의 값은 $-7 - 13 = \bf{-20}$ 이 되겠네요.
만약 이걸 두 개로 쪼개서 풀었다면... 계산 실수할 확률도 올라가고 시간도 더 걸렸겠죠?

자주 묻는 질문 (FAQ)

• 이 풀이법, 모든 연립부등식에 다 쓸 수 있나요? 아니요! 가장 중요합니다. 이 방법은 $A<B<C$ 꼴의 부등식에서 양쪽 끝 항(A와 C)의 x의 계수가 같을 때만 사용할 수 있는 '특수 스킬'입니다. 계수가 다르다면 정석대로 두 개로 나눠서 풀어야 해요.
• 그럼 x 계수가 다르면 아무 소용 없는 건가요? 네, 계수가 다를 땐 어쩔 수 없이 $A<B$, $B<C$ 로 나눠서 풀어야 합니다. 하지만 과부족 활용 문제에서는 거의 대부분 양 끝의 계수가 같게 나오는 경우가 많으니, 식을 세운 뒤에는 항상 양쪽 끝을 확인하는 습관을 들이는 게 좋습니다.
• 사실 계산보다 식 세우는 게 더 어려워요. 정답입니다. 활용 문제의 90%는 '올바른 식 세우기'에 달려있어요. 특히 '의자 문제'에서 비어있는 의자를 어떻게 처리할지, '마지막 학생'의 범위를 어떻게 설정할지 등은 많은 연습이 필요합니다. 오늘 배운 팁은 어디까지나 계산 시간을 줄여주는 도구일 뿐, 식 세우기 연습은 꾸준히 하셔야 합니다!
• 이 방법 쓰다가 서술형에서 감점당하지는 않을까요? 좋은 질문입니다. 이 풀이는 부등식의 기본 성질(양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 바뀌지 않는다)을 이용한 것이므로 수학적으로 전혀 오류가 없습니다. 하지만 담당 선생님께 정확하게 확인 받는게 좋겠죠?
• '의자가 남는다'의 의미가 너무 헷갈려요. 팁 좀 주세요. 의자 $x$개 중 3개가 남는다는 건, 학생들이 $(x-3)$개의 의자에 앉았다는 뜻이죠. 하지만 중요한 건 '꽉 채워 앉은' 의자는 $(x-4)$개이고, 그 다음 의자인 $(x-3)$번째 의자에는 최소 1명부터 최대 정원까지 앉을 수 있다는 점입니다. '완전히 빈 의자'와 '누군가 앉아있지만 꽉 차지 않은 의자'를 구분하는 것이 포인트입니다.
• 이런 꿀팁은 어떻게 발견하나요? 많은 문제를 풀다 보면 자연스럽게 패턴이 보이기 시작합니다. '어? 이 문제는 이렇게 푸는 게 더 빠르네?' 하는 순간이 오죠. 여러분도 한 가지 풀이법만 고집하지 말고, 다양한 각도에서 문제를 바라보는 습관을 길러보세요. 저 이치쌤이 앞으로도 그런 시야를 넓혀드릴게요!

오늘의 꿀팁, 어떠셨나요?

별거 아닌 것 같은 작은 차이가 시험장에서는 여러분의 등급을, 나아가 미래를 바꿀 수 있습니다.
수학은 무작정 외우는 과목이 아니라, 원리를 이해하고 가장 효율적인 길을 찾아가는 '전략' 과목입니다.
오늘 배운 내용, 꼭 자기 것으로 만들어서 실전에서 유용하게 써먹길 바랍니다.

오늘 배운 방법 외에, 여러분이 알고 있는 또 다른 수학 꿀팁이 있나요? 혹은 어떤 문제 유형이 가장 시간을 많이 뺏는다고 생각하시나요? 여러분의 생각과 이유를 댓글로 자유롭게 공유해 주세요!